二重积分求柱体体积例题
题目：计算以xOy面上的圆周x^2+y^2=ax围成的闭区域为底，而已曲面z=x^2+y^2为顶的曲顶柱体的体积
解答：柱体的体积=2∫（0，π/2）dθ∫（0，acosθ）r^3dr
=1/2∫（0，π/2）(acosθ)^4dθ
=a^4/2∫（0，π/2）(acosθ)^4dθ
=a^4/8∫（0，π/2）[1+2cos（2θ）+cos²（2θ）]dθ
=a^4/8∫（0，π/2）[3/2+2cos（2θ）+cos(4θ)/2]dθ
=a^4/8[3θ/2+sin（2θ）+sin(4θ)/8]|（0，π/2）
=a^4/8(3π/4+0+0)
=3a^4/32.
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