二项式展开公式
二项式展开公式
二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子,由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中,二项式系数是一些特殊的组合数,与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项,而系数最大的项却不一定是中间项。
二项展开式的性质
1、项数:n+1项;
2、第k+1项的二项式系数是Cₙᵏ;
3、在二项展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系数相等;
4、如果二项式的幂指数是偶数,中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的的二项式系数最大,并且相等。
用数学归纳法证明二项式定理
证明:当n=1时,左边=(a+b)1=a+b
右边=C01a+C11b=a+b;左边=右边
假设当n=k时,等式成立,即(a+b)n=C0nan+C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;
则当n=k+1时, (a+b)(n+1)=(a+b)n*(a+b)=[C0nan+C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)
=[C0nan+C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a+[C0nan+C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b
=[C0na(n+1)+C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb+C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]
=C0na(n+1)+(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]
=C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…+Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时,等式也成立;
所以对于任意正整数,等式都成立。
此定理指出
1、(a+b)^n的二项展开式共有n+1项,其中各项的系数Cnr(r∈{0,1,2,……,n})叫做二项式系数。
等号右边的多项式叫做二项展开式。
2、二项展开式的通项公式(简称通项)为C(n,r)(a)^(n-r)b^r,用Tr+1表示(其中"r+1"为角标),即通项为展开式的第r+1项(如下图),即n取i的组合数目。
因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形
二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。
(a+b)n的系数表为
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
…………………………………………………………
(左右两端为1,其他数字等于正上方的两个数字之和)
补充
在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」,一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」,因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何,二项式定理的发现,在中国比在欧洲要早500年左右。
杨辉三角
1665年,牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形,给出了展开式,但并未给出进一步证明。
1811年,高斯对此进行了严格的证明,结果表明牛顿的猜想是正确的。
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