椭圆面积怎么算
椭圆面积怎么算
面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长),或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长)。
c1c2clone可以依据关于圆的有关公式,类比出关于椭圆公式。
导数方法
设椭圆x²/a²+y²/b²=1
取第一象限内面积,有y²=b²-b²/a²*x²
即y=√(b²-b²/a²*x²)
=b/a*√(a²-x²)
由于该式反导数为所求面积,观察到原式为圆方程公式*a/b,根据(af(x))'=a*f'(x),且x=a时圆面积为a²π/4
可得 当x=a时,1/4S=b/a*1/4*a²*π=abπ/4
即S=abπ。此方法比较容易理解。
椭圆定义
椭圆是一种圆锥曲线(也有人叫圆锥截线的)
1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合(该定值大于两点间距离,一般称为2a)(这两个定点也称为椭圆的焦点,焦点之间的距离叫做焦距);
2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合(定点不在定直线上,该常数为小于1的正数)(该定点为椭圆的焦点,该直线称为椭圆的准线)。这两个定义是等价的。
几何关系
点与椭圆
点M(x0,y0)椭圆x²/a²+y²/b²=1;
点在圆内:x0²/a²+y0²/b²<1;
点在圆上:x0²/a²+y0²/b²=1;
点在圆外:x0²/a²+y0²/b²>1;
跟圆与直线的位置关系一样的:相交、相离、相切。
直线与椭圆
y=kx+m①
x²/a+y²/b²=1②
由①②可推出x²/a²+(kx+m)²/b²=1
相切△=0
相离△<0无交点
相交△>0可利用弦长公式:设A(x1,y1)B(x2,y2)
求中点坐标
根据韦达定理x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
带入直线方程可求出y+y/2=可求出中点坐标。
|AB|=d=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1*x2]=√(1+1/k²)[(y1+y2)²-4x1*x2]
椭圆与圆的关系
圆是椭圆的特殊情况:
从参数方程上去理解
椭圆方程:x²/a²+y²/a²=R²
a=b=1的时候,就是圆。
从定义上去理解:
椭圆的焦点重合的时候就是圆。
斜切圆柱所得截面即为椭圆,这在高中数学圆锥曲线一章有阐述,下面就用阴影面积法巧妙求解椭圆面积。圆形面积与椭圆面积之比为cosθ,则cosθ=πR^2/S=2R/2a,椭圆短轴b即为圆柱底面半径R,即R=b,所以S=πR^2*a/R=πaR=πab。
根据定积分的定义及图形的性质,我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形,整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。
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